ALGEBRA BOOLEANA

ALGEBRA BOOLEANA

  El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ó 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND (*).

 Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediantes los operadores (AND y OR).

  En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tiene los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal.

LEYES

En el álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

1) Conmutatividad:

X + Y = Y + X

                                    X . Y = Y . X

2) Asociatividad:

  

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

                                                      X . (Y. Z) = (X . Y) . Z

3) Distributividad: 

X + (Y . Z) = (X + Y ) . (X + Z)

X . (Y + Z) = (X . Y ) + (X . Z)

 

IDENTIDADES

4) ELEMENTOS NEUTROS (identidad):

                                     X + 0 = X

                                     X . 1 = X

 

5) COMPLEMENTO:

                                    X + X = 1

                                    X . X = 0

  

6) DOMINACIÓN: 

                                 X + 1 = 1  X . 0 = 0

 

 

Demostración

                                    X + 1 = (X + 1) . 1 = (X + 1) . (X +X)

 

                                   (X + 1) . (X + X) = X + (1 . X) = 1

 

7)  IDEMPOTENCIA:

                                    X + X = X

                                    X . X= X

8) DOBLE COMPLEMENTO: 

                              X = X

9) ABSORCION:

                                    X + X . Y = X

                             X . (Y + X) = X

Demostración

X + X .Y = (X .1) + (X .Y ) = X . (1 + Y) = X

10) DE MORGAN:

 

                                    A . B = A + B  

                                    A + B = A . B

El estudio de algebra booleana se basara en la investigación de los diversos teoremas booleanos (reglas) que nos pueden servir para simplificar las expresiones y los circuitos lógicos.

A continuación veremos en la figura un grupo de teoremas.

Donde cada teorema. A es una variable lógica que puede ser 0 o un 1.

 

1)  A.0 = 0

                        

                            

 

  

Este teorema enuncia que, si cualquier variable se opera con AND con un 0, el resultado tiene que ser cero. Esto es fácil de recordar por que la operación AND es como la multiplicación ordinaria, en la que cualquier número que se multiplica por 0 es 0. La salida de una compuerta AND será cero siempre que cualquier entrada sea 0, independientemente del nivel de la otra entrada.

2) A.1 = A 

También evidente por su comparación con la multiplicación ordinaria.

3) A.A = A   

Se puede demostrar ensayando cada caso. Si A = 0, entonces 0.0 = 0; si A = 1, entonces 1.1 = 1. Asi A.A = A.

 

4)   A.A = 0

Se puede probar en la misma forma. Sin embargo, también puede razonarse que en cualquier momento, A o su inversa A, tiene que estar en el nivel 0, de modo que su producto AND siempre tiene que ser 0.

5)  A+0 = A

Es directo ya que 0, sumado a cualquier número, no altera su valor en la suma común o en la adición OR.

 6) A+1 = 1  

Afirma que, si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Verificamos esto con ambos valores de A: 0+1= 1 y 1+1= 1. De manera equivalente, podemos recordar que la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, sin importar que valor tenga la otra

7) A+A = 1

Puede demostrarse verificando los dos valores de A: 0+0 = 0 y 1+1 = 1

  

8) A+A = 1 

Se puede probar en forma similar, o simplemente se puede razonar que en cualquier instante A o A  tiene que estar en el nivel 1, de manera que siempre operemos con OR un 0 y un 1, que siempre da como resultado 1.

     

 

 

Video de ejercicios de algebra booleana

http://www.youtube.com/watch?v=sdmL5p_yLbA

http://www.youtube.com/watch?v=jF5LW1KZ9yk

http://www.youtube.com/watch?v=jF5LW1KZ9yk

EJEMPLOS

1)

Simplificar la siguiente función:

F= A. B. C + A. B. C + A.B.C + A. B. C

Vamos a intentar aplicar la propiedad distributiva, lo que normalmente llamamos sacar factor común. Operando con los terminos 1 y 3.

A.  B. C + A. B. C = A.C (B + B) =A.C

Operando con los términos 2 y 4.

A.   B . C + A. B. C = B. C. (A + A) = B. C

La funcion que nos queda es:

F=  A. C + B. C

 Tanto la función inicial, como la que hemos obtenido son funciones equivalentes. Tienen la misma tabla de verdad, sin embargo,

  la segunda está mucho más simplificada: sólo tiene dos sumandos y cada sumando tiene sólo dos variables.

2)  F= (A . B .C ) = (A. B. C) + (A. B. D) + (A. B .C) + (C. D) + (B. D)

Obtener la expresión mínima en forma de suma de productos.

Solución:

 F(A. B. C. D) = A. B. C  + A. B. D + A. B. C + C. D + B. D   

                       = A. B. C  + B. (A. D + D) + A. B. C + C. D

                       = A. B. C + B. ((A + D) .N (D + D)) + A. B. C + C. D

                       = A. B. C + A. B + B. D + A. B. C + C. D

                       = A. B + B. D + A. B. C + C. D

                       = B. D + B. (A + A. C) + C.  D

                       = B. D + B. ((A + A ) . (A + C)) + C. D

                       = B. D + B. A + B. C + C. D

                       = B. (C + D) + B. A + C.D

                       = B. (C. D)  + B. A + C. D

                       = B + C. D + B. A

                       = B + C. D

                                        

EJERCICIOS A DESARROLLAR

           Ø  F= A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B.  C

 

          Ø  F= A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C

 

Ø  F= (A . B .C ) + (A. B. C) + (A. B. D) + (A. B .C) + (C. D) + (B. D)

Ø  F= (A . B .C ) + (A. B. C) + (A. B. D)