MAPA DE KARNAUGH
1. DEFINICIÓN:
El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica, para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. El número de celdas del mapa es igual al número de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables.
También demuestra la relación entre las entradas lógicas y la salida que se busca.
Este mapa fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.
2. TIPOS
2.1. De dos variables
Descripción: En el Mapa de Karnaugh, se grafica las dos entradas y se pone 4 celdas que son al representación gráfica de las combinaciones posibles de las dos entradas.
Ejemplo:
Ejemplo:
ENTRADAS
|
SALIDAS
|
a b
0 0
0 1
1 0
1 1
|
S
1
0
0
1
|
X=a’b’ + ab
| 2.2.De tres variable:En el Mapa de Karnaugh, se grafica las dos entradas y se pone 8 celdas que son al representación gráfica de las combinaciones posibles de las dos entradas. |
| |||||||
2.3. De cuatro variables:
El mapa de Karnaugh, se establece para este caso como una matriz de 4 filas y 4 columnas, en las cuales se utilizan 4 variables de entrada y se realizan las 16 combinaciones posibles entre estas variables utilizando el álgebra de Boole.
ENTRADAS
|
SALIDAS
|
a b c d
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 0
|
S
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
|
S=a’b’c’d + a’bc’d + abcd’ + ab’cd’+ abc’d+ abcd’
2.4. De cinco variables: Este mapa se obtiene de dos mapas con 4 variables, lo que hace un mapa con 32 celdas, y que cuenta con 5 entradas, aclarando se cuenta con una entrada A para uno de los mapas y su complemento A’, para realizar el otro mapa.
Ejemplos
Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh:
A’B’C + A’BC’ + ABC’ + ABC
SOL: En la expresión se introducirá un 1 en el mapa de Karnaugh de tres variables por cada producto estándar de la expresión.
A’B’C + A’BC’ + ABC’ + ABC
001 010 110 111
EJEMPLO
Transformar la siguiente expresión suma de productos en un Mapa de Karnaugh A’ + AB’ + ABC’
SOL: Como se ve la suma de productos no está en formato estándar, ya que cada término no contiene las tres variables. Entonces encontraremos los términos que faltan, mediante el desarrollo numérico del producto dado
A’ + AB’ + ABC’
000 100 110
001 101
010
011
Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, colocando un 1 en la cela apropiada del mapa de Karnaugh de tres variables.
EJEMPLO
Agrupar los 1s en cada uno de los mapas de Karnaugh:
       
EJEMPLO
Transformar la siguiente expresión de suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh.
(A’+B’+C+D)(A’+B+C’+D’)(A+B+C’+D)(A’+B’+C’+D’)(A+B+C’+D’)
1100 1011 0010 1111 0011
Simplificación de expresiones:
1-F= ABC’+A’B’C+A’BC+A’B’C’
F= C(AB+A’B’)+A’(B’C’+BC)
F= C+A’
2- F= A’BC’D+A’BCD+ABCD’+AB’C’D’+AB’C’D
F= A’BD (C’+C)+ AD’ (BC+B’C’)+AB’C’D
F= A’BC+AD’+AB’C’D
1. Un sistema de dos entradas debe de presentar una salida ALTA cuando alguna de las entradas sea diferente, y una salida BAJA cuando las entradas sean iguales.
Tabla de verdad:
Mapa de karnaught:
Salida=A’B+ AB’
Diagrama Esquemático:
2. El circuito de la alarma de un carro emplea tres interruptores como entrada, un interruptor se emplea para saber si la puerta del conductor está abierta o cerrada, otro para las luces, y uno para el switch de encendido.
|
Diseñe un circuito lógico de tal forma que la alarma se encienda cuando se presenten cualquiera de estas condiciones:
-las luces estén encendidas y switch este apagado.
-la puerta este abierta y el switch abierto.
Tabla de verdad:
X=int. Puerta
Y=int. Luces
Z=int. Switch
A
|
B
|
C
|
Salida
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Mapa de karnaught:
Salida =AB’+AB
Diagrama Esquemático:
3. Un número binario de 4 bits se representa como ABCD, siendo D igual a LSB, diseñe un circuito lógico que produzca una salida ALTA siempre y cuando el número binario sea mayor a 0010 y menor que 1000.
Tabla de verdad:
Mapa de karnaught:
Salida=A’B+A’CD
Salida=A’(B+CD)
Diagrama Esquemático:
4. Se tiene un sistema de 5 entradas ABCDE, y una salida X, agrupadas de la siguiente forma (ABC), (DE), de tal forma que la salida tendrá un estado ALTO si el número de unos en el primer grupo, sea igual al número de unos del segundo grupo.
Mapa de karnaught:
X=A’B’CD’E+A’BCDE+A’BC’DE’+ABC’DE+AB’CDE+AB’C’DE’
X=A’B’CD’E+A’B(CDE+C’DE’)+ABC’DE+AB’(CDE+C’DE’)
X=A’B’CD’E+ABC’DE+(A’B+AB’)(CDE+C’DE’)
X=A’B’CD’E+ABC’DE+(AΘB)(CDE+C’DE’)
X=E(A’B’CD’+ABC’D) +(AΘB)(CDE+C’DE’)
Diagrama Esquemático:
Problemas para resolver:
1. En una etapa de control se deben pulsar dos interruptores para que se pueda realizar el siguiente proceso.
2. Diseñe un circuito lógico de entradas PQR, de forma que la salida S sea un estado ALTO cuando P sea cero o cuando Q y R sean uno.
3. Cuatro tanques de gran capacidad de una planta química contienen diferentes líquidos sometidos a calentamiento. Se utilizan sensores de nivel de líquido para detectar si el nivel de los tanques A y B se excede un nivel predeterminado. Los sensores de temperatura de los tanques C y D detectan cuando la temperatura de estos tanques desciende de un nivel prescrito. Suponga que las salidas A y B del sensor del nivel de líquidos son BAJAS cuando el nivel es satisfactorio y ALTAS cuando el nivel es demasiado alto. Asimismo las salidas C y D del sensor de temperatura son BAJAS cuando la temperatura es satisfactoria y ALTAS cuando la temperatura es demasiado baja. Diseñe un circuito lógico que detecte cuando el nivel del tanque A o B es muy alto al mismo tiempo que la temperatura ya sea del tanque C o D es muy baja.
4. Se tiene un sistema de 5 entradas ABCDE, y una salida X, las entradas son dos números binarios de 2 bits a (AB), y b (CD) y un habilitador (E), se tiene una salida ALTA siempre y cuando los dos números sean iguales y la entrada habilitadora este en alto.
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